Algèbre linéaire Exemples

$x + 3 y + z = a$ , $x - 2 y + z = b$ , $3 x + 7 y - z = c$

Étape 1

Soustrayez $a$ des deux côtés de l’équation.

$x + 3 y + z - a = 0, x - 2 y + z = b, 3 x + 7 y - z = c$

Étape 2

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$x + 3 y + z - a = 0, x - 2 y + z - b = 0, 3 x + 7 y - z = c$

Étape 3

Soustrayez $c$ des deux côtés de l’équation.

$x + 3 y + z - a = 0, x - 2 y + z - b = 0, 3 x + 7 y - z - c = 0$

Étape 4

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 5.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - - 2 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 5.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 7 & - - 1 & - 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 & - 7 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 6

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$a - x - 3 y - z = 0$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$a - 3 y - z = x$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$a - z = x + 3 y$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Étape 7.3

Ajoutez $z$ aux deux côtés de l’équation.

$a = x + 3 y + z$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

$a = x + 3 y + z$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Étape 8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$b + 2 y - z = x$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$b - z = x - 2 y$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Étape 8.3

Ajoutez $z$ aux deux côtés de l’équation.

$b = x - 2 y + z$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

$b = x - 2 y + z$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $c$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$c - 7 y + z = 3 x$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

Étape 9.2

Ajoutez $7 y$ aux deux côtés de l’équation.

$c + z = 3 x + 7 y$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

Étape 9.3

Soustrayez $z$ des deux côtés de l’équation.

$c = 3 x + 7 y - z$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

$c = 3 x + 7 y - z$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

Étape 10

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x + 3 y + z, x - 2 y + z, 3 x + 7 y - z, x, y, z)$

Étape 11

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x + 3 y + z \\ x - 2 y + z \\ 3 x + 7 y - z \\ x \\ y \\ z \end{array}]$